Đại số vectơ là một phần không thể thiếu của Vật lý và Toán học. Nó đơn giản hóa các tính toán và giúp phân tích nhiều khái niệm không gian. Vectơ là một đại lượng vật lý có độ lớn và hướng. Đối của nó là một đại lượng vô hướng chỉ có độ lớn mà không có hướng.
Một vectơ có thể được điều khiển bằng hai phép toán cơ bản. Các hoạt động này là sản phẩm chấm và sản phẩm chéo, và chúng có sự khác biệt rất lớn.
Sản phẩm chấm so với Sản phẩm chéo
Sự khác biệt giữa tích chấm và tích chéo của hai vectơ là kết quả của tích chấm là một đại lượng vô hướng, trong khi kết quả của tích chéo là một đại lượng vectơ.
Một tích chấm của hai vectơ còn được gọi là tích vô hướng. Nó là tích của độ lớn của hai vectơ và côsin của góc mà chúng tạo thành với nhau.
Tích chéo của hai vectơ còn được gọi là tích vectơ. Nó là tích của độ lớn của hai vectơ và sin của góc mà chúng tạo với nhau.
Bảng so sánh giữa sản phẩm chấm và sản phẩm chéo (ở dạng bảng)
| Tham số so sánh | Chấm sản phẩm | Sản phẩm chéo |
|---|---|---|
| Định nghĩa chung | Tích số chấm là tích của độ lớn của vectơ và cos của góc giữa chúng. | Tích chéo là tích của độ lớn của vectơ và sin của góc mà chúng phụ nhau. |
| Mối quan hệ toán học | Tích chấm của hai vectơ A và B được biểu diễn là: Α.Β = ΑΒ cos θ | Tích chéo của hai vectơ A và B được biểu diễn là: Α × Β = ΑΒ sin θ |
| Kết quả | Kết quả của tích số chấm của các vectơ là một đại lượng vô hướng. | Kết quả của tích chéo của các vectơ là một đại lượng vectơ. |
| Tính trực giao của Vectơ | Tích số chấm bằng 0 khi các vectơ trực giao (θ = 90 °). | Tích chéo là cực đại khi các vectơ trực giao (θ = 90 °). |
| Tính giao hoán | Tích của hai vectơ tuân theo quy luật giao hoán là: A. B = B. A | Tích của hai vectơ không tuân theo luật giao hoán: A × B ≠ B × A |
Sản phẩm chấm là gì?
Tích chấm hoặc tích vô hướng của hai vectơ là tích của độ lớn của chúng và côsin của góc được phụ bởi một vectơ so với vectơ kia. Nó còn được gọi là sản phẩm bên trong hoặc sản phẩm chiếu.
Nó được biểu thị là:
A · Β = | A | | B | cos θ
Kết quả là một đại lượng vô hướng, vì vậy nó chỉ có độ lớn mà không có hướng.
Ta lấy cosin của góc để tính tích số chấm sao cho các vectơ thẳng hàng theo cùng một hướng. Bằng cách này, chúng ta thu được hình chiếu của một vectơ này lên vectơ kia.
Đối với vectơ có n thứ nguyên, tích số chấm được cho bởi:
A · Β = Σ α¡b¡
Sản phẩm chấm có các đặc tính sau:
Α · b = b · α
Α · (b + c) = α · b + α · c
(λα) · (μb) = λμ (α · b)
Sản phẩm chấm có các ứng dụng sau:
Nó được sử dụng để tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng khi biết tọa độ của nó.
Sản phẩm chéo là gì?
Tích chéo hoặc tích vectơ của hai vectơ là tích của độ lớn của chúng và sin của góc phụ với nhau. Nó còn được gọi là sản phẩm khu vực hướng dẫn.
Nó được biểu thị là:
A × Β = | A | | B | tội lỗi θ
Kết quả là một đại lượng vectơ khác. Vectơ kết quả là vuông góc với cả hai vectơ. Hướng của nó có thể được xác định bằng cách sử dụng quy tắc bàn tay phải.
Các quy tắc sau đây cần được ghi nhớ khi tính tích số chéo:
Trong đó I, j và k lần lượt là các vectơ đơn vị theo hướng x, y và z.
Sản phẩm chéo có các đặc tính sau:
a × b = - (b × α)
a × (b + c) = α × b + α × c
(λα) × (b) = λ (α × b)
Sản phẩm chéo có các ứng dụng sau:
Sự khác biệt chính giữa sản phẩm chấm và sản phẩm chéo
Tích số chấm và tích số chéo cho phép tính toán trong đại số vectơ. Chúng có các ứng dụng khác nhau và các quan hệ toán học khác nhau.
Sự khác biệt chính giữa hai là:
Sự kết luận
Đại số vectơ có một tiện ích tuyệt vời trong các môn toán học khác nhau. Việc sử dụng nó rất phổ biến trong hình học và điện từ học. Tích chấm và tích chéo của vectơ là các phép toán cơ bản trong đại số vectơ. Họ có một số ứng dụng. Tích số chấm tính toán một đại lượng vô hướng. Đại lượng này thường là khoảng cách hoặc chiều dài.
Tích chéo tính một đại lượng vectơ. Vì vậy, chúng ta nhận được một vector khác trong không gian. Chúng ta có thể thực hiện các phép toán như cộng, trừ và nhân trên vectơ. Độ dời, vận tốc và gia tốc là các vectơ phổ biến trong Vật lý.
Khái niệm vectơ đã phát triển hơn 200 năm trước. Kể từ đó, nó đã phát triển mạnh mẽ nhờ sự đóng góp của nhiều nhà toán học và nhà khoa học.
